ΓΕΝΙΚΑ:

Στο μάθημα γίνεται μια εισαγωγή στη θεωρία των βάσεων Gröbner και κατ επέκταση στην Υπολογιστική Άλγεβρα. Σκοπός του μαθήματος είναι οι φοιτητές να κατανοήσουν πλήρως τη σύνδεση μεταξύ Υπολογιστικής Άλγεβρας και θεωρητικών προβλημάτων της Άλγεβρας και της Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Με τη βοήθεια των βάσεων Gröbner, επιλύουμε πολλά αλγεβρικά προβλήματα τα οποία σχετίζονται με τα ιδεώδη ενός πολυωνυμικού δακτυλίου. Περιληπτικά, τα περιέχομενα του μαθήματος σε τίτλους κεφαλαίων είναι: Δακτύλιοι πολυωνύμων και Ιδεώδη, Μονωνυμικές διατάξεις και διαίρεση πολυωνύμων, Βάσεις Gröbner, Εφαρμογές των βάσεων Gröbner στην Άλγεβρα, στην Αλγεβρική Γεωμετρία, στη Θεωρία Γραφημάτων και στον Ακέραιο Προγραμματισμό.


 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ/ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ:

Σύμφωνα με την υπ' αριθμ. 115744/Ζ1/4-9-2020 Κοινή Υπουργική Απόφαση, η διδασκαλία των μαθημάτων θα γίνει με χρήση μεθόδων εξ αποστάσεως. Σύμφωνα με το ωρολόγιο πρόγραμμα του τμήματος οι διαλέξεις θα πραγματοποιούνται κάθε Τρίτη 12.00-15.00 - στη πλατφόρμα MS-Teams.

Αναλυτικά (θα ανανεώνεται η σελίδα μετά από κάθε διάλεξη):

  • Τρίτη 20/10/2020: Επανάληψη σε βασικές έννοιες της Θεωρίας Δακτυλίων. Πολυωνυμικοί Δακτύλιοι. Θεώρημα βάσης του Hilbert.
  • Τρίτη 27/10/2020: Η έννοια των μονωνυμικών διατάξεων. Λεξικογραφική διάταξη. Βαθμωτή λεξικογραφική διάταξη. Αντίστροφη βαθμωτή λεξικογραφική διάταξη. Διάταξη βάρους.
  • Τρίτη 03/11/2020: Διαίρεση πολυωνύμων.
  • Τρίτη 10/11/2020: Εισαγωγή στα μονωνυμικά ιδεώδη. Το αρχικό ιδεώδες. Η έννοια της βάσης Gröbner.
  • Δευτέρα 16/11/2020 (18.00-21.00) *: S-πολυώνυμα και ο αλγόριθμος του Buchberger. Ελαχιστικές βάσεις Gröbner.
  • Δευτέρα 23/11/2020 (18.00-21.00) **: Ελαχιστικές και ανάγωγες βάσεις Gröbner. Η καθολική βάση Gröbner ενός ιδεώδους.
  • Τρίτη 24/11/2020: Επίλυση ασκήσεων. Εφαρμογές των βάσεων Gröbner: το πρόβλημα ιδιότητας μέλους ενός ιδεώδους.
  • Δευτέρα 30/11/2020 (18.00-21.00) **: Εφαρμογές των βάσεων Gröbner: το πρόβλημα ισότητας δύο ιδεωδών. Συσχέτιση δύο ιδεωδών. Μελέτη διανυσματικού χώρου πηλίκο.
  • Τρίτη 01/12/2020: Εφαρμογές των βάσεων Gröbner: Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου πηλίκο. Το πρόβλημα της τομής δύο ιδεωδών.
  • Δευτέρα 07/12/2020 (18.00-21.00) ***: Εφαρμογές των βάσεων Gröbner: Εύρεση ε.κ.π. και μ.κ.δ. δύο πολυωνύμων. Το πρόβλημα προσδιορισμού του πηλίκου δύο ιδεωδών. Μία εισαγωγή στην Αλγεβρική Γεωμετρία: Συσχετικός χώρος και συσχετικές ποικιλότητες.
  • Τρίτη 08/12/2020: Εφαρμογές των βάσεων Gröbner: Τα Θεωρήματα Nullstellensatz. Επίλυση συστημάτων.
  • (Δευτέρα 14/12/2020 (18.00-20.00): Φροντιστηριακές ασκήσεις).
  • Τρίτη 15/12/2020: Εφαρμογές των βάσεων Gröbner: Τα Θεωρήματα Nullstellensatz. Επίλυση συστημάτων. Πλήθος λύσεων συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων.
  • (Δευτέρα 21/12/2020 (18.00-20.00): Φροντιστηριακές ασκήσεις).
  • Τρίτη 22/12/2020: Εφαρμογές των βάσεων Gröbner: Θεωρία Γραφημάτων. Χρωματισμός γραφημάτων.
  • Τρίτη 05/01/2021: Έκτακτο - επίλυση αποριών.

* Αναπλήρωση του μαθήματος της Τρίτης 17/11 που δε θα πραγματοποιηθεί (αργία: επέτειος πολυτεχνείου)

** Αναπληρώσεις των μαθημάτων 06/10 και 13/10 που δε πραγματοποιήθηκαν, λόγω καθυστερημένης έναρξης διαλέξεων εξαμήνου.

*** Αναπλήρωση-συμπλήρωσης των 13 διδακτικών εβδομάδων.


Βιβλιογραφία:

Το κύριο μέρος του μαθήματος θα υλοποιηθεί μέσω των παρακάτω ηλεκτρονικών σημειώσεων: Σημειώσεις Gröbner.

Λοιπή προτεινόμενη βιβλιογραφία:

Ξενόγλωσση:

  • W. Adams, P.Loustaunau, An introduction to Grobner Bases, Graduate Studies in Mathematics Vol.3 A.M.S. (1991).
  • V. Ene, J. Herzog, Grobner Bases in Commutative Algebra, Graduate Studies in Mathematics Vol.130 A.M.S. (1995).
  • D. Cox, J. Little, D. O’Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer (2015).
  • M. Kreuzer and L. Robbiano, Computational Commutative Algebra 1, Springer, Berlin, 2008.
  • M. Kreuzer and L. Robbiano, Computational Commutative Algebra 2, Springer, Berlin, 2005.

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ:

Για την εξέταση του μαθήματος θα πραγματοποιηθεί η ακόλουθη διαδικασία:

Στην ημερομηνία εξετάσεων του μαθήματος, θα πραγματοποιηθούν γραπτές εξετάσεις διάρκειας 1 (μίας) ώρας. Τα προβιβάσιμα γραπτά θα αποκτήσουν δικαίωμα συμμετοχής στις προφορικές εξετάσεις οι οποίες και θα καθορίσουν τον τελικό βαθμό του μαθήματος. Ο βαθμός των γραπτών εξετάσεων (σε περίπτωση προβιβάσιμου γραπτού) δε μετράει. 

Παράδειγμα: 

  • Γραπτές εξετάσεις: 10 (δέκα), Προφορικές εξετάσεις: 3 (τρία). Τελικός βαθμός 3 (τρία).
  • Γραπτές εξετάσεις: 5 (πέντε), Προφορικές εξετάσεις: 10 (δέκα). Τελικός βαθμός 10 (δέκα).
  • Γραπτές εξετάσεις: 4 (τέσσερα). Τελικός βαθμός 4 (τέσσερα).

Εξεταστική περίοδος Ιανουαρίου:

  • Απαλλακτική πρόοδος: Θα πραγματοποιηθεί το Σάββατο 09 Ιανουαρίου στις 09.00. Δείτε περισσότερα εδώ.
  • Εξεταστική Ιανουαρίου: 26/01/2021. Ακολουθεί τους ίδιους κανόνες με τους αντίστοιχους της προόδου.